Le piège des pourcentages successifs
C'est l'erreur la plus répandue avec les pourcentages : croire qu'ils s'additionnent. Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène pas au prix de départ. Voici pourquoi, et comment enchaîner correctement plusieurs évolutions.
Le paradoxe du +20 % / −20 %
Prenons un prix de 100 €. On l'augmente de 20 %, puis on le baisse de 20 %. Intuitivement, on s'attend à revenir à 100 €. Vérifions :
Après la hausse : 100 × 1,20 = 120 €.
Après la baisse : 120 × 0,80 = 96 €.
Résultat : 96 €, soit 4 € de moins qu'au départ, malgré des taux identiques.
La raison est simple : la baisse de 20 % ne s'applique pas au prix initial (100 €) mais au prix déjà augmenté (120 €). Les deux pourcentages ne portent pas sur la même base. C'est pourquoi ils ne peuvent pas s'additionner.
La bonne méthode : multiplier les coefficients
Pour enchaîner des évolutions, on ne additionne jamais les taux : on multiplie les coefficients multiplicateurs. Une hausse de 20 % correspond à ×1,20, une baisse de 20 % à ×0,80. Le coefficient global est leur produit :
Coefficient global = C₁ × C₂ × … × CₙIci : 1,20 × 0,80 = 0,96, soit une baisse globale de 4 %. Ce coefficient unique résume toute la chaîne d'évolutions.
Le taux global (ou taux d'évolution cumulé)
À partir du coefficient global, on retrouve le taux d'évolution total :
Taux global = (Coefficient global − 1) × 100Un salaire augmente de 10 % une année, puis de 5 % l'année suivante.
Coefficient global : 1,10 × 1,05 = 1,155.
Taux global : (1,155 − 1) × 100 = 15,5 %, et non 15 %.
Voir le calculateur de taux global et les évolutions successives.
Le taux moyen
Le taux moyen répond à une autre question : quel taux constant, appliqué à chaque période, aurait produit la même évolution globale ? Ce n'est pas la moyenne arithmétique des taux, mais une moyenne géométrique :
Coefficient moyen = (Coefficient global)1/nPour notre salaire (coefficient global 1,155 sur 2 ans), le coefficient moyen est √1,155 ≈ 1,0747, soit un taux moyen d'environ 7,47 % par an — proche, mais différent, de la moyenne (10 + 5) ÷ 2 = 7,5 %. Voir le calculateur de taux moyen.
Le taux réciproque
Le taux réciproque est celui qui annule une évolution. Après une hausse de 20 % (×1,20), quel taux de baisse ramène au point de départ ? Il faut multiplier par 1 ÷ 1,20 ≈ 0,8333, soit une baisse d'environ 16,67 % — et non 20 %.
Coefficient réciproque = 1 ÷ Coefficient initialC'est exactement pour cela qu'après une remise, il faut une hausse plus forte pour revenir au prix d'origine. Voir le calculateur de taux réciproque.
Des situations très concrètes
- Soldes successives. « −30 % puis −20 % supplémentaires » ne fait pas −50 %, mais 0,70 × 0,80 = 0,56, soit −44 %.
- Inflation cumulée. Deux années d'inflation à 4 % ne font pas 8 %, mais 1,04 × 1,04 = 1,0816, soit 8,16 %.
- Évolution d'un placement. Une année à +10 % puis une à −10 % laisse un capital à 0,99 fois sa valeur : on a perdu 1 %, pas fait du surplace.
À retenir
Face à plusieurs pourcentages qui s'enchaînent, un seul réflexe : passer par les coefficients et les multiplier. On n'additionne pas des pourcentages qui portent sur des bases différentes. Ce principe résout d'un coup les soldes, l'inflation, les variations de salaire et les rendements successifs.
Questions fréquentes
Pourquoi +20 % puis −20 % ne fait pas 0 ?
Parce que la baisse s'applique à un montant plus élevé que la hausse. 100 → 120 → 96 : on multiplie par 1,20 puis par 0,80, soit 0,96 au total, une baisse de 4 %.
Comment cumuler deux remises ?
On multiplie les coefficients. −30 % puis −20 % : 0,70 × 0,80 = 0,56, soit une remise globale de 44 % (et non 50 %).
Le taux moyen est-il la moyenne des taux ?
Pas exactement. C'est une moyenne géométrique : la racine n-ième du coefficient global. Elle est proche de la moyenne arithmétique quand les taux sont faibles, mais s'en écarte sinon.
Quel taux annule une hausse de 25 % ?
Une baisse d'environ 20 %. Le coefficient réciproque de 1,25 est 1 ÷ 1,25 = 0,80, soit −20 %.